ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Bulletproofs：Arithmetic Circuits_PRO:zkProof

Bulleproofs算法有兩個方面的應用。

一個是Rangeproof：

第一講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof1

第二講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof2

第三講：?理解零知識證明算法之Bulletproofs--RangeProof3

另一個是generalarithmeticcircuits，本編文章就來主要分享Bulletproofs在后者上的應用。

ArithmeticCircuits

聯邦存款保險公司(FDIC)已向CEX.IO發出終止信:金色財經報道，聯邦存款保險公司(FDIC)已向CEX.IO發出終止信，要求總部位于伊利諾伊州內珀維爾的加密貨幣交易所CEX.IO停止聲稱其法定貨幣錢包中持有的美元受FDIC保險。該機構表示，CEX.IO網站的一個部分錯誤地指出“你的CEX.IO法定貨幣錢包中持有的美元是受FDIC保險的，每個賬戶最高250,000美元。”

但FDIC在其信中指出，“沒有與此陳述相關的資格、澄清或限制，也沒有確定與此聲明相關的受保存款機構(IDI)。”FDIC要求CEX.IO刪除任何表明該交易所受FDIC保險且其持有的任何加密貨幣資金均受FDIC保險保護的聲明或參考資料。根據CoinGecko的數據，CEX.IO是較小的集中式加密貨幣交易所之一，24小時交易量為290萬美元，每月訪問量為892,000次。[2023/2/16 12:09:45]

了解ZK-SNARK算法應該都知道算術環路的概念，下面一張圖展示了zk-snark算法中，算術環路的設計規則。

ChatGPT概念股開盤領跌:2月9日消息，云從科技、海天瑞聲雙雙跌超10%，凡拓數創、天璣科技跌超5%，東港股份、高鴻股份、拓爾思、漢王科技、神思電子等跟跌。

?消息面上，上交所8日晚間對近期熱門ChatGPT概念股海天瑞聲、云從科技下發監管工作函。此前一天，ChatGPT人氣股漢王科技亦收到關注函。[2023/2/9 11:56:03]

Circuit設計規則：

1.由乘法門和加法門組成，每個門固定兩個輸入一個輸出；

2.不標記通過加法門連接乘法門的線，如圖中綠線，僅起到連接作用；

3.同一條線直接或間接連接多個乘法門，僅表示為一條有效的線，為了方便理解，用紫色虛線表示其連接關系；

Immutable X推出NFT跨鏈協議Archv1.0版本:6月16日消息，以太坊NFT二層擴容方案Immutable X宣布推出ERC-721格式NFT跨鏈協議Archv1.0版本，旨在支持以太坊主網和StarkNet之間NFT的跨鏈轉移。目前該協議已上線Goerli測試網，Immutable X表示，未來將在去中心化、StarkNet上自動化的合約部署、支持Layer2原生資產的跨鏈以及多鏈擴展方面進行改進。（medium）[2022/6/16 4:31:33]

4.MulGate處的取值為圖中紅色字體所示

5.黃色線條為有效連接線

6.橙色線條表示MulGate對應的一階約束

那Bulletproofs算法的算術環路的設計規則是什么樣的呢？我們看看下圖。

Circuit設計規則：

1.由乘法門和加法門組成，每個門固定兩個輸入一個輸出；

2.不標記加法門

3.不標記有常量的乘法門

4.紅色字體表示乘法門的索引

5.黃色字體表示乘法門的輸入和輸出

6.橙色線條表示乘法門對應的一階約束

7.藍色線條表示相鄰乘法門間的一致性約束

因此，一個完整有效的算數電路應該滿足：

1.每個乘法門對應的的約束成立

2.乘法門之間的一致性約束成立

Zk-snark的算術電路通過R1CS滿足了上述兩個條件。

1.每個R1CS表示一個乘法門的約束

2.相鄰乘法門的輸出是下一個乘法門的輸入，如圖中的y,sym_1,sym_2

Bulletproofs的算術環路以通過以下兩種方式滿足上述兩個條件：

1.每個乘法門對應的約束成立

2.上個乘法門的輸出等于下個乘法門的輸入。

看起來兩個算法的證明一個算術電路有效的思想是一樣，但是由于兩個電路的標注規則不同，就產生兩個不同的約束結果。

Zk-snark算法以validwires為基本要素，每個wire有左輸入，右輸入，和輸出三個屬性

Bulletproofs算法以validMulgate為基本要素，每個Mulgate有左輸入，右輸入和輸出三個屬性

最后，附上一張對比圖：

總結以上可以看出，對數算術環路的滿足性問題，不同的算法具有不同的電路描述方式。Zk-snark算法由Circuits轉化到QAP，最終生成的證據僅僅再幾十個字節大小；

Bulletproofs的算法由Circuits轉化到innerproductor，生成的證明的大小和算術電路的乘法門的個數n有關O(log(n*Q)，電路越大，證據越大。

附錄

1.Bulletproofs論文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

2.BCG+講述了算術電路的另外一種描述形式?https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf

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