理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof (2)_PRO:CryptoFranc

前言

在本系列的第一篇文章中，我們介紹了Bulletproofs在Rangeproof上的應用，當prover想要證明v值在范圍內時，他需要發送2n+7個元素。然而，這種O(n)級的CC并不是我們想要的，希望能尋找一種方法可以把CC降低到O(log(n)級。

所以，本篇我們就主要介紹這個優化過程，主要分為兩部分：

以簡單的場景去闡述這個優化過程把第一篇的Rangeproof結果嵌入到優化過程注：第一篇文章由于格式的原因，公式顯示會有誤差，向量的特殊標記也沒有顯示出來，因此本篇將以圖片的形式展示整個過程；另外，本文最后也附上了第一篇文章的圖，幫助大家理解^_^

元宇宙太空娛樂社區TDGA完成2000萬美元種子輪融資:金色財經報道，Web3 及元宇宙太空娛樂社區 TDGA Holding Ltd 宣布完成 2000 萬美元種子輪融資，新加坡媒體公司 New Media Holding 參投。據悉，NMH 已承諾成為本輪融資的主要投資者，對 TDGA 的估值為 1 億美元。

TDGA Holdings Ltd 是太空娛樂社區 Space Hero 的供應商，使用元宇宙和 Web3 相關技術在全球范圍內進行擴張，其合作伙伴包括 NASA、日本航天局 JAXA、加拿大航天局 CSA 以及尼日利亞和巴西航天局等。[2023/2/9 11:57:43]

ImprovedRangeproof----Asimpleexample

穩定幣TUSD上線OKX穩定幣閃兌專區:據OKX公告，9月23日15:00（HKT）OKX上線TUSD穩定幣閃兌功能。用戶可以在TUSD和USDC之間進行1:1固定匯率兌換，兌換過程0滑點、0手續費。

TrueUSD（TUSD）是首個經獨立機構驗證、接受鏈上實時獨立驗證、錨定美元的數字資產，目前已上線Binance、Huobi、Poloniex等100多家交易平臺，并在Ethereum、TRON、Avalanche、BNB Chain、Fantom、Polygon等12大主流公鏈上進行多鏈部署。TrueUSD經全美最大會計公司之一的Armanino實時審計，確保美元儲備與其流通比達到1:1，實現100%儲備，用戶可隨時通過官網tusd.io獲取公開審計結果。[2022/9/23 7:16:40]

1.預備知識

Avalanche鏈上DeFi協議總鎖倉量為38.3億美元:金色財經報道，據DefiLlama數據顯示，目前Avalanche鏈上DeFi協議總鎖倉量為38.3億美元，24小時減少2.95%。鎖倉資產排名前五分別為AAVE（13.3億美元）、TraderJoe（2.99億美元）、Benqi（2.61億美元）、Curve（2.11億美元）、PTP（1.93億美元）。[2022/6/11 4:18:53]

2.一個簡單的場景

3.復雜度優化到O(log(n))

下圖是一張基于上述過程的交互協議

有幾點需要說明：

圖的右半部分分為兩個部分a.黃色部分為文章前面部分講述的過程。這又分為三個部分：?i.初始化：省略了P的計算和交互的過程，我們假定開始此證明協議前，驗證者已經有了一些基本的信息。這并不嚴謹，僅僅是為了清晰的表示后面的交互過程

?ii.LOOP：一個不斷迭代的過程，每次迭代，會:

產生一對(Li,Ri)，所有向量長度減半Verifier計算P?i?/g?i?/h?i`?iii.End：最后一步，向量a,b已減半成常量a,b

?b.綠色部分為黃色部分的進一步優化，優化思想主要是多次冪乘操作縮減成單詞冪乘操作，具體的是：

?i.上述LOOP中的第3步，延遲到最后一部一次性計算

ArealRangproof

回顧第一篇文章，我們知道，當我們要證明v屬于時，驗證者最終要驗證：

對關系式做個變換：

因此，prover是要證明有向量l，r滿足關系：

基于此關系，使用上述協議，就可以使rangeproof的交互復雜度降低到對數級。現在，是不是找到點內味了？

總結

本篇文章主要講到了，BulletProof是如何把Rangeproof的CC降低到O(log(n))，并且介紹了更近一步的優化。結合第一篇文章，相信你已經對基于Bulletproofs的Rangeproof原理有了整體的了解，在本系列的第三篇文章中，將給大家分享Rangeproof的工程上實現細節。

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