一文了解零知識證明當中的Sum-check Protocol_CHE:PRO

原文作者：FoxTechCEO康水躍，FoxTech首席科學家孟鉉濟

隨著比特幣、區塊鏈、智能合約等概念的鋪開，越來越多的人關注到Web3領域的蓬勃發展。而在技術方面，也有許多開發者關注到支撐區塊鏈底層的密碼學協議。在這之中，零知識證明協議以其獨特的特性大放異彩，無論是在實現隱私保護，還是在實現?Layer?2?性能擴容的?zkrollup?項目當中，都發揮著關鍵的作用。

零知識證明是一類算法的統稱，到目前為止，研究者發明了包括?Plonk、Groth?16、zkStark、Virgo、Orion、Foaks?等等在內的許多種協議。不同的協議適用于不同的計算場景，復雜度和效率也各有不同，例如?Foaks?就以線性的證明時間和較小的證明長度為優勢。

上述的每一種協議，協議目標是相同的，就是證明者希望在不向驗證者透露任何關于自己的秘密的信息的情況下讓驗證者相信自己擁有秘密。sum-checkprotocol?是很多協議的組件，最早在當中被提出。很多計算問題可以被轉化成?sum-checkprotocol?能處理的問題，從而生成證明。包括?Foaks?在內的不少協議的底層協議都基于?sum-checkprotocol，在其上進行調整來實現。

香港財庫局許正宇：香港金融管理局正在研究穩定幣的監管制度:3月20日消息，香港特區政府財經事務及庫務局局長許正宇在 Aspen Digital Web3 投資峰會上表示，截至 2023 年 2 月底，投資推廣署已收到超過 80 家與虛擬資產相關的內地和外國公司表示有意在香港設立業務。

此外，香港金融管理局正在研究穩定幣的監管制度，目標是在 2024 年實施相關監管。[2023/3/20 13:14:45]

在?FoxTech?所采用的?Foaks?證明系統當中，該協議同樣發揮著重要的作用。具體來講，為了實現對于某一操作碼?opcode?正確性的證明，需要先將其轉化為算術電路，之后轉換為矩陣，最終生成多項式，對多項式應用證明系統當中的算法，在最后壓縮證明的部分當中，同樣將證明者和驗證者之間的交互過程轉換為計算某個和式，也就是?sum-checkprotocol?的過程。

過去24小時GMX鏈上手續費收入為36萬美元:金色財經報道，Cryptofees.info數據顯示，最近24小時，以太坊鏈上手續費收入為6020240.16美元，Uniswap鏈上手續費收入為1400917.16美元，SushiSwap鏈上手續費收入為1198384.94美元，Bitcoin鏈上手續費收入為575044.81美元，BSC鏈上手續費收入為525656.98美元，GMX鏈上手續費收入為363318.29美元。[2023/3/9 12:51:44]

圖?1:Sum-checkProtocol?所在環節

1.協議目標

協議的目標非常簡單且容易理解。

假設我們有一個定義在有限域?F?上的?v?元多項式，記作?g。協議的目標是計算和式：

和在?zkRollup?當中考慮的“外包計算”的場景類似，在應用當中，上述式子的計算量會非常大，我們希望將這個式子的計算交給證明者，之后證明者向驗證者證明自己的計算結果是正確的。

PUMA首個NFT項目Nitropass by PUMA完成發售，持有者可獲得限量版實物:8月27日，據官方消息，時尚運動品牌PUMA（彪馬）首個NFT項目Nitropass by PUMA完成發售，目前OpenSea上地板價為0.27ETH。據悉，Nitropass持有者可獲得PUMA限量版實物產品并可獲得其他PUMA元宇宙項目體驗。[2022/8/27 12:52:16]

2.協議假設

首先，需要明確在這個協議當中驗證者的能力。我們假設驗證者擁有可以計算函數?g?的預言。也就是說，對于驗證者而言，確定某個輸入?r?1,...,?rv?之后，計算?g(r?1,...,?rv)是容易的。但是計算完整的結果?H?是困難的。

事實上，在現實應用當中，預言不會存在，但是可以通過某種手段實現，例如我們可以讓證明者幫助驗證者計算這個值，并用更多的技巧附加正確性的證明。

Optimsim回應巨額轉賬：僅是按計劃向投資者的Coinbase托管錢包進行轉賬:8月18日消息，Optimsim基金會多簽錢包于北京時間8月18日凌晨陸續向Coinbase托管錢包轉賬共計約4.5億枚OP。Optimsim基金會解釋稱該轉賬行為并非Token解鎖也不會導致當前Token供應量的變化，僅向OP Labs PBC的各種投資者的Coinbase托管錢包執行了一系列計劃中的標準轉賬。

Optimsim還表示，以后將提前宣布計劃中的巨額轉移，以避免對社區造成困惑。[2022/8/18 12:32:57]

第二點，關于協議的目標，事實上?sum-check?協議可以對于任意的集合?B?計算?bBmg(b)，但是不失一般性的，我們假設?B={?0,?1?}。

如果證明者是誠實的，應當成立?H=g?1(?0)g?1(?1)。驗證者驗證，若通過則選擇隨機數?r?1?發送給證明者。注意到，根據協議的假設，證明者可以完成上述驗證。

軟銀管理合伙人Yanni Pipilis和Munish Varma將加入前軟銀愿景基金負責人Misra的公司:7月27日消息，軟銀管理合伙人Yanni Pipilis和Munish Varma將加入前軟銀愿景基金負責人Misra的公司。[2022/7/27 2:39:49]

我們用?degi(p)來表示多元多項式?p?當中，第?i?個變量的次數。g?1(X?1)的次數為?deg?1(g)，所以我們知道?g?1?可以用?deg?1(g)?1?個域元素表出。

第?j(j>1)輪：

如果證明者是誠實的，應當成立?gj-1(rj-1)=gj(?0)gj(?1)。驗證者驗證，若通過則選擇隨機數?rj?發送給證明者。

第?v?輪：

Completeness:若證明者擁有有效的?Witness，則驗證者會以不低于的概率接受證明；

Soundness：若證明者沒有有效的?Witness，則驗證者會以低于?negl的概率拒絕證明

Succinctness:Proof?的?Size?必須遠小于?Witness?的?Size；

Zero-knowledge：驗證者無法通過證明的交互過程獲取任何關于?witness?的信息

#其中?negl為任意可忽略的函數

Sum-checkProtocol?的應用

在許多的零知識證明算法當中，sum-checkprotocol?都在發揮著重要的作用。許多問題的證明，都依賴于將原始的問題轉化為?sum-check?的形式，再完成后續的步驟。

例如，可以利用?sum-checkprotocol?來計算一個無向圖中的三角形數量。

首先，我們使用鄰接矩陣?A?表示無向圖?G，設?E?為其邊集合，則?Ai,?j=?1(i,?j)E，也就是說若點?i,?j?之間存在一條邊則?Ai,?j=?1?否則為?0?。對于點?i,?j,?k，三點構成三角形的條件是?Ai,?j=?1,?Ai,?k=?1,?Aj,?k=?1?。

接下來記矩陣?A?為一映射表，表示的映射為?f:{?0,?1?}logn{?0,?1?}logn{?0,?1?}，其中?logn?為?i，j?的二進制長度。所以對于點?i,?j,?k，三點構成三角形的條件進一步可以表示為?f(i,?j)f(i,?k)f(j,?k)=?1?。

此外，在許多證明系統當中，都采用了?sum-checkprotocol?作為底層邏輯進行構造。下圖展示了根據在?sum-check?基礎上進行不同改造得到的不同證明系統。

圖?4:Sum-checkprotocol?在四類證明系統當中的應用

圖?5:Sum-checkprotocol?在簡潔證明方面的具體應用

產業界同時給予越來越多的關注。

CarstenLund,LanceFortnow,HowardKarloff,andNoamNisan.Algebraicmethodsforinteractiveproofsystems.J.ACM,39:?859?–?868,October1992.

https://people.cs.georgetown.edu/jthaler/sumcheck.pdf

https://zkproof.org/2020/03/16/sum-checkprotocol/

https://eprint.iacr.org/2021/333.pdf

介紹?sum-check?的中文博客?https://blog.csdn.net/mutourend/article/details/111610754?

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