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學習筆記 | 零知識證明算法之PLONK——協議_區塊鏈:LON

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上一篇主要描述了PLONK協議里的一個核心部分,用置換校驗的方法去證明電路門之間的一致性;接下來,將繼續分享如何證明門的約束關系得成立,以及整體的協議剖析。

門約束

舉個簡單的例子,假如存在一個電路,電路中僅有3個乘法門,對應的約束如下:

L1*R1-O1=0

L2*R2-O2=0

L3*R3-O3=0

進行多項式壓縮:定義多項式函數L(X),R(X),O(X)滿足:

L(1)=L1,R(1)=R1,O(1)=O1

L(2)=L2,R(2)=R2,O(2)=O2

L(3)=L3,R(3)=R3,O(3)=O3

此時,定義新的多項式函數F(X),令F(X)=L(X)*R(X)-O(X)

則有:

F(1)=L(1)*R(1)-O(1)=0

F(2)=L(2)*R(2)-O(2)=0

F(3)=L(3)*R(3)-O(3)=0

也就是表明:如果多項式函數F(X)在X=1,2,3處有零點,則說明門關系約束成立。

多項式函數F(X)在X=1,2,3處有零點則表明多項式F(X)可以被(X-1)(X-2)(X-3)整除,為了和論文一致,我們把這個多項式函數設置成Z(X),即:

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F(X)=T(X)*Z(X)==>T(X)=F(X)/Z(X)

如果能證明T(X)是一個多項式,則說明多項式F(X)與Z(X)有相同的零點,進而說明門約束關系成立。

一般過程應該如下:

1.P計算F(X)并把F(X)發送給V;

2.V根據Z(X)直接校驗F(X)/Z(X)

但是如此過程存在兩個問題,一個是復雜性問題,假如F(X)的階為n,那通信復雜度就是O(n);而是安全性問題,多項式F(X)完全暴露給V。

那應該如何解決這兩個問題呢?最佳的答案可能就是:多項式承諾

多項式承諾

什么是多項式承諾?就是證明方P用一個很短的數據來代表一個多項式F,這些很短的數據可以被驗證方V用來驗證多項式F在某一點的值確實為證明方P聲稱的值z。

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具體看一下論文里的定義:

由圖可知:

1.Setup:初始化,生成計算多項式承諾需要的一些必備參數;

2.Commit:計算多項式承諾,其結果是一個值;

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3.Open:返回與多項式承諾對應的多項式函數;

4.VerifyPoly:驗證多項式承諾是否和多項式函數一致;

5.CreateWitness:證明多項式函數在某一點的值是否是證明方P聲稱的值,具體的數學方法就是:判斷多項式是否能被整除,即:

6.VerifyEval:驗證方V驗證多項式函數在某一點的值是否是證明方P聲稱的值,具體的數學方法是:利用雙線性配對驗證其數學乘法邏輯關系。

繼續回到我們上面的問題:

證明方如何證明:T(X)=F(X)/Z(X),我們再簡化一下場景,就令Z(X)=X-1,則:

T(X)=F(X)/(X-1)==>T(X)*(X-1)=F(X)==>T(X)*X=F(X)+T(X)

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對應多項式承諾的協議可知:證明方P其實是想證明多項式函數F(X)再X=1處的值為0,因此根據協驗證方只需要證明:

e(Commit(T(x)),x*G)=?e(Commit(F(x))+Commit(T(x)),G)(雙線性配對的性質)

可以看出,利用多項式承諾的數學工具,既可以實現復雜度的優化,又可以實現隱私保護。

協議

接下來分析一下完整的PLONK協議:

Relation

上圖表示了PLONK算法里,要證明的一種關系,需要說明的是:

1.w代表著電路里的輸入、輸出,總共3n個,n是電路里乘法門的數量,每個門都有左輸入,右輸入和輸出,因此w總共有3n個;

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2.q*代表著選擇向量,它的取值對應這這個是乘法門,還是加法門等類似的約束類型

3.σ代表著置換多項式,其表示門之間的一致性約束索引

4.倒數第一個公式代表門之間的約束成立

5.倒數第二個公式代表門的約束關系成立

CRS&P_Input&V_Input

上圖表示了PLONK算法里的CRS設置,以及證明方P和驗證方V的一些輸入,需要說明的是:

1.整個協議都是基于多項式的,因此需要構建對應的多項式形式。

2.多項式σ的階是3n的,由于和多項式承諾相關的CRS最高的階位n+2,因此需要把σ拆分成3個多項式S,分別記錄每個多項式的置換關系(L,R,O);

3.為了減少通信復雜度和保護隱私,協議基于多項式承諾構建,因此驗證方V的輸入都是承諾值。

Prove

上圖表示了PLONK算法里證明方的一些操作,需要說明的是:

1.b1,...b9是隨機數,從用法看是為了安全,但是我暫時也沒明白,不加這個隨機數,又會有什么安全問題?

2.a(X),b(X),c(X)分別是代表了電路里的左輸入,右輸入和輸出

3.,,表示多項式的承諾值,參考多項式承諾小節里的承諾計算方法

上圖表示了PLONK算法里證明方的一些操作,主要是置換校驗,參考第一篇的置換校驗的協議過程,生成多項式z(X),需要說明的是:

1.β和?都是用來生成置換校驗函數的參數,詳見第一篇里f`(x)和g`(x)的生成過程;

2.z(X)的生成方式對應置換校驗里跨多項式的生成過程,Li(X)為拉格朗日多項式基,性質滿足,盡在x=i的時候為1,其他為0;

3.注意區分ω和w,ω是群H的生成元,是多項式的自變量的取值。w是電路的左輸入,右輸入和輸出,是多項式L,R,O在在群H上的取值。

上圖表示了PLONK算法里證明方P的一些操作,主要是把門約束和門之間的一致性約束組合到一起,通過α,需要說明的是:

1.根據前面的描述,門約束多項式和一致性約束多項式在群H上的所有元素都是取值為0的,因此都會被多項式ZH(X)整除,等同于上面所述的T(X);

2.因此,證明方只要能證明整除的結果的確是多項式,那就能證明,門約束多項式和一致性多項式在群H所有元素上取值為0,即所有約束關系成立,即電路邏輯成立;

3.可以知道的是t(X)的階最高為3n,但是用于計算承諾的CRS只到了n的級別,因此需要把多項式t(X)拆分,然后單獨計算承諾值。

上圖表示了PLONK算法了證明方P的一些操作,主要根據多項式承諾的協議,前面P算出了多個多項式在點x=z處的值是多少,現在要用多項式承諾協議去證明,這些計算是正確的,需要說明的是:

1.為了減少驗證方V的操作復雜度,t(X)的分子部分r(X)在x=z處的值,P計算好,然后驗證方直接驗證,其他的操作類似;

2.v的值看起來是為了更安全;

3.Wz(X)對應多項式協議里的CreateWitness操作,證明這些多項式r(X),a(X),b(X)等在x=z處的值確實等于r,a,b等,對Wzw(X)同理,并返回承諾值。

Verify

至此,證明方P的所有操作都完事了,接下來都是驗證方V的操作。

上圖表示了PLONK算法里驗證方V的一些操作,主要重新生成相關的參數,確保證明方P沒有作惡。需要說明的是:

1.從輸入看,比較清晰,就是一些公開的輸入和證明方P的證明輸出;

2.根據輸入,生成置換校驗過程中需要的一些參數

上圖表示了PLONK算法里驗證方V的一些操作,對于一些公開的,并且計算復雜度很小的多項式,其在x=z處的值還是需要自己計算,更為方便。需要說明的是:

1.根據證明方P的過程來看,驗證方V的核心工作就是驗證兩個多項式承諾;

2.兩個多項式承諾驗證需要兩個配對,可以通過一個參數組合成一個配對,即μ;

3.在驗證前,先計算Wz(x),Wzw(x)的分母在x=z處的值,兩部分,減數和被減數,分別對應,。μ作為系數的,就是對應Wzw(X)多項式的。

4.最后通過一個雙線性配對操作完成兩個多項式承諾的驗證。

結束

至此,PLONK算法的協議原理已全部分享完成,公式很密集,但是細分下來,又很有層次感。能堅持看完,已實屬不易。各位讀者有什么不同的簡介,還請指教,謝謝。

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