技術干貨 | 理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof I_區塊鏈:Proof Of Degen

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：1.用于rangeproof；2.用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。

Rangeproof

1.?預備知識

aL：表示向量{a1,a2……an}

2n：表示向量{20,21…2n-1}

<a,b>：表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……an*bn}，結果是一個向量

2.?證明

Alice想要證明

v?

=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

{：V=grhv^v?}

public-x??????????witness-wrelation-R

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

《比較》研究部主管陳永偉：數字經濟的三個關鍵詞分別是數字技術、數據和平臺:9月18日晚8點，火幣大學名師前沿課邀請到《比較》研究部主管、經濟學博士陳永偉以《理解數字經濟》的主題為學員們帶來分享。

陳永偉表示，數字經濟的三個關鍵詞，分別是數字技術、數據和平臺，他們是數字經濟的技術基礎、生產要素和組織形式。前兩個層次是生產力層面，后一個層次是生產關系的層面。數字經濟正在以指數級的速度發展，基于地域和營業時間的傳統商業邏輯被打破，任何場景下的任何兩個主體形成可瞬時達成交易的數字化統一市場，數字經濟帶來對生產的創新，建立了創新的商業體系和“新的商業平臺”，重構了工業生產。[2020/9/18]

V=grhv????(1)

<aL,2n>=v???(2)

aLoaR=0n??(3)

aR=aL-1n???(4)

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)(4)確保了a

L元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

3.?2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n。

RocketFuel與Sila合作推動區塊鏈支付技術:基于區塊鏈的電子商務和實體商戶結賬解決方案RocketFuel與內置ACH和數字錢包API提供商Sila已經合作整合雙方的服務。此次合作將使RocketFuel基于電子商務區塊鏈的結賬技術平臺與Sila內置數字錢包及關聯的銀行賬戶集成，以吸引新客戶和銷售渠道。

據悉，RocketFuel正在開發以客戶數據保護為重點的結賬解決方案，使消費者能夠在線支付商品，而不會向第三方泄露消費憑證和其他個人數據。Sila提供銀行和支付基礎設施即服務，其受監管的支付和銀行API使用內置的穩定幣SILA在用戶賬戶之間移動資金。（The Paypers）[2020/4/20]

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

1.驗證者隨機選取一個數y發送給證明者；

2.證明者要證明：

<aL,2n>=v(5)

<aL,aRoyn>=0???????(6)

<aL-1n-aR,yn>=0???(7)

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了a

L元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

1.驗證者隨機選取一個數z發送給證明者：

杭州“野生動物保護”專項舉報小程序將融合區塊鏈等技術，實現線索溯源:從杭州市人民檢察院了解到，該院已聯合支付寶安全中心上線“野生動物保護”專項舉報小程序。據了解，杭州“野生動物保護”專項舉報小程序及線索處理后臺還將融合人工智能、云計算、區塊鏈等新技術，逐步實現線索溯源、證據固定、數據分析等全鏈路功能的線上化、智能化，用科技手段助力檢察公益訴訟提質增效。（中新網）[2020/3/26]

2.證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：

z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積

4.?三個點積優化成1個點積

=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v

聲音 | 河北省長許勤：推動能源產業與區塊鏈等數字技術深度融合:1月14日、15日，河北省長許勤分別到廊坊市、石家莊市，深入企業和項目現場，調研檢查科技創新、縣城規劃建設、生豬養殖、市場供應等工作，看望慰問退役軍人、企業家、一線職工和建設者。在新奧集團，許勤看望慰問民營企業家和企業員工，充分肯定企業打造“泛能網”、創建清潔能源生態圈的創新探索。他鼓勵企業發揮下游分銷、中游貿易儲運、上游生產的全產業鏈優勢，推動能源產業與物聯網、人工智能、區塊鏈等數字技術深度融合，以創新型智慧企業為創新型河北建設貢獻力量。(河北日報)[2020/1/16]

=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>

動態 | Akshaya Patra基金會試用區塊鏈等技術進行質量監控:據rediff消息，Akshaya Patra基金會正在班加羅爾新建的Jigani廚房試用數據分析、區塊鏈和物聯網等技術，以在其不斷擴大業務規模的同時確保質量安全。Akshaya Patra基金會是印度的一個非營利組織，在印度各地開展學校午餐計劃。[2018/10/11]

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)

=>?令

L=?aL-z*1n

R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n

δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>

5.驗證：

1.證明者把L/R/V發送給驗證者；

2.驗證者事先算好δ

3.驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n>=v算出v

4.驗證者根據L,R,v,δ驗證等式<L,R>=z2*v+δ

因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.?一個零知識證明協議

由于L,R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子s

L

、s

R來隱藏a

L，a

R。如公式(10)(11)所示：

l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)

r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)

此時，定義公式(12)

t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)

可以看出系數t

0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)

r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n

需要校驗：

P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n

=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n

=?hμgl(h`)r

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0+t1x+t2x2

需要校驗：

=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2

=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2

=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2

=>當且僅當t和τxwelle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共{

l/r/t/

τ

x

/

μ

/T1/T2/A/S}個元素給驗證者，總共2n+3個Z

p元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))

附錄

1.Bulletproofs論文：

chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf

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